Eddie rechnet: IMO 1985 Aufgabe B3

Für jede reelle Startzahl wird eine Folge durch

definiert. Zu zeigen ist: Es gibt genau einen Startwert , für den

In Worten bedeutet das: Jedes Folgenglied ist positiv, bleibt kleiner als 1 und ist immer größer als das vorherige. Die Folge wächst also, aber sie darf nie die 1 erreichen oder überschreiten.

Man kann sich die Vorschrift wie einen kleinen Rechner vorstellen: Du gibst den aktuellen Wert hinein und bekommst den nächsten Wert heraus. Die Aufgabe fragt dabei nicht nur nach irgendeinem passenden Startwert, sondern nach genau einem einzigen.

Für den Beweis führen wir zuerst Hilfsfunktionen (Iterationsfunktionen) ein:

Damit gilt bei Startwert stets .

Damit ist jede Funktion auf stetig und streng wachsend. Als Komposition solcher Funktionen ist auch jede Funktion stetig und streng wachsend.

Vorbetrachtung: Angenommen, ein Startwert erfüllt bereits für alle . Dann folgt für jedes feste :

Das ist die notwendige Richtung. Umgekehrt nehmen wir an, dass für alle gilt . Dann ist für alle .

Außerdem liefert die Annahme mit Index direkt . Daher gilt für alle :

Damit dürfen wir äquivalent nach einem Startwert mit für alle suchen.

Für genügt die Grundbedingung ; wir setzen daher und . Für jedes definieren wir durch:

Wegen Stetigkeit und strenger Monotonie von sind eindeutig bestimmt und es gilt .

Jetzt die Monotoniebeweise (für ):

• ist streng wachsend.
  Da streng wachsend ist, folgt .
• ist streng fallend.
  Wegen der strengen Monotonie von folgt .

Damit sind die abgeschlossenen Intervalle (für ) geschachtelt:

Nach dem Intervallschachtelungsprinzip ist nichtleer. Die Existenz ist damit gezeigt.

Für die Eindeutigkeit müssen wir zeigen, dass die Intervalllängen gegen 0 gehen. Wir fixieren ein und betrachten das zugehörige Intervall , dessen Länge wir abschätzen wollen. Wenn wir zeigen, dass diese Länge für große gegen 0 geht, folgt die Eindeutigkeit.

Setze für :

Für rechnen wir explizit:

Nun zeigen wir, dass der Faktor streng größer als 1 ist:

Damit folgt für alle : .

Die Intervalllängen der geschachtelten Intervalle gehen also gegen 0. Daher besteht aus genau einem Punkt, nenne ihn .

Weil die Intervalle geschachtelt sind, gilt und . Also liegt für jedes strikt im Inneren: . Mit der strengen Monotonie von folgt dann:

Für gilt zusätzlich , also . Mit der Äquivalenz aus Teil 3 folgt damit:

Zum Schluss die formale Eindeutigkeit: Haben und die Eigenschaft, dann liegen beide für jedes in .

Da dies für alle gilt, folgt , also .