Eddie denkt über die Aufgabe B2 der IMO 85 nachJoutsa, 5. Juli 1985
Ich höre jeden Atemzug im Raum. Sogar das Umblättern klingt wie ein Signal. Mein Blick springt ständig vom Blatt zur Tür, als würde sie gleich aufgehen.
Die Aufgabe ist Geometrie, aber nicht die freundliche Sorte. Es geht um ein Dreieck, und durch zwei seiner Ecken läuft ein Kreis mit einem Mittelpunkt, der extra genannt wird. Dieser Kreis schneidet zwei Seiten des Dreiecks noch einmal in zwei neuen Punkten. Dann werden zwei weitere Kreise gebaut, jeweils durch drei Punkte, und diese beiden Kreise treffen sich (natürlich) in genau zwei Stellen. Eine davon ist eine Ecke des Dreiecks. Die andere ist der “mysteriöse” Punkt, um den es geht.
Und die ganze Aufgabe läuft auf eine einfache Aussage hinaus: Ein bestimmter Winkel muss genau ein rechter Winkel sein. Also wie eine perfekte Ecke.
Normalerweise liebe ich solche “Das muss 90 Grad sein!”-Momente. Heute fühlt es sich an, als müsste ich mich zwingen, überhaupt in der Zeichnung zu bleiben.
Hier führe ich dich durch die Idee und die Formeln: Welche Kreise hier “zusammenarbeiten” und warum am Ende eine rechte Ecke rausfällt.
Teil 1 - Aufgabenstellung
Ein Kreis mit Mittelpunkt geht durch die Punkte und des Dreiecks . Er schneidet die Strecken bzw. ein zweites Mal in bzw. .
Die Umkreise von und schneiden sich (neben ) in einem zweiten Punkt .
Zu zeigen ist:
Teil 2 - Zwei Werkzeuge, die wir brauchen (Potenz + Radikalachse)
2.1 Potenz eines Punktes zu einem Kreis
Für einen Kreis und einen Punkt (nicht unbedingt auf dem Kreis) heißt die Potenz von bezüglich :
Zwei praktische Rechenregeln:
(A) Sekantenformel:
Schneidet eine Gerade durch den Kreis in und , dann gilt
(B) Mittelpunktformel:
Hat Mittelpunkt und Radius , dann gilt
Beide Formeln liefern dieselbe Zahl.
2.2 Radikalachse (Radical axis)
Für zwei Kreise ist die Radikalachse die Menge aller Punkte mit
Diese Menge ist immer eine Gerade.
Wichtigster Spezialfall:
- Schneiden sich und in zwei Punkten, dann ist ihre Radikalachse die Gerade durch diese beiden Schnittpunkte.
Noch ein Fakt (für ganz am Ende):
- Die Radikalachse zweier Kreise steht senkrecht zur Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte.
Teil 3 - Die drei Kreise in der Aufgabe
Wir benennen:
- : der Kreis mit Mittelpunkt durch und . Sein Radius ist .
- : der Umkreis von .
- : der Umkreis von .
Dann gelten sofort drei Radikalachsen:
- und schneiden sich in und Radikalachse ist .
- und schneiden sich in und Radikalachse ist .
- und schneiden sich in und Radikalachse ist .
Diese drei Radikalachsen schneiden sich in einem Punkt (dem Radikalzentrum). Nenne diesen Punkt
Damit gilt besonders: liegen auf einer Geraden.
Teil 4 - Ein Schlüsselschritt: liegen auf einem Kreis
Wir zeigen:
Dazu zeigen wir die Winkelgleichheit
In den folgenden Gleichungen verstehen wir Winkel als Winkel zwischen Geraden (also ohne Richtung; Winkel werden modulo betrachtet).
Jetzt die Winkelkette:
- Weil auf einer Geraden liegen, sind die Geraden und dieselbe Gerade; daher ist .
- Weil auf dem Kreis liegen, gilt .
- Weil auf einer Geraden liegen, sind die Geraden und dieselbe Gerade. Daher ist der Winkel zwischen und gleich dem Winkel zwischen und ; kurz: .
- Weil auf dem Kreis liegen, gilt .
- Weil auf liegt, ist .
Damit ist zyklisch.
Teil 5 - Die Potenzgleichungen (jetzt wird gerechnet)
5.1 Eine Gleichung aus dem Radikalzentrum
Da auf liegt und auf liegen, ist
Da aber auch auf der Radikalachse von und liegt (das ist ), gilt
5.2 Eine zweite Gleichung über den Kreis durch
Aus Teil 4 wissen wir: Es gibt einen Kreis durch . Nenne ihn .
Dann ist die Potenz von bezüglich auf zwei Geraden berechenbar:
- Auf der Geraden schneidet in und , also .
- Auf der Geraden schneidet in und , also .
Aber und liegen auch auf , also ist gleichzeitig die Potenz von bezüglich . Mit der Mittelpunktformel:
Teil 6 - Der Schluss: daraus folgt der rechte Winkel
Wir ziehen (3) von (1) ab:
Jetzt kommt ein kurzer Trick mit gerichteten Strecken auf der Geraden . Wir rechnen auf der Geraden wie auf einer Zahlengeraden (mit Vorzeichen). Dabei gilt stets ; umgestellt ist das (mit Vorzeichen). Entsprechend gilt dann auch .
Dann ist
Subtrahieren ergibt:
Setze das in (4) ein:
6.1 Was bedeutet (5) geometrisch?
Betrachte zwei Kreise:
- Kreis mit Mittelpunkt und Radius ,
- Kreis mit Mittelpunkt und Radius .
Dann hat ein Punkt auf ihrer Radikalachse genau dann gleiche Potenzen, wenn
Gleichung (5) sagt genau: Die Punkte und erfüllen diese Bedingung. Also liegen und auf der Radikalachse der Kreise und . Diese Radikalachse ist die Gerade .
Aber: Die Radikalachse zweier Kreise steht senkrecht zur Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte, hier also senkrecht auf . Damit:
Und weil auf einer Geraden liegen, ist dieselbe Gerade wie . Also:
- Radikalachsen: drei Paare von Kreisen, drei Geraden, ein Schnittpunkt .
- Ein zyklisches Viereck per Winkelkette.
- Potenzrechnungen auf passenden Geraden (Produkt von Strecken).
- Am Ende zeigt eine Gleichung, dass die Radikalachse zweier Kreise mit Mittelpunkten und ist - und damit automatisch senkrecht auf .
Spielplatz: numerische Verifikation
Wir bauen eine gültige Konfiguration analytisch auf und rechnen die in der Lösung benutzten Identitäten numerisch nach.
Die Richtungen α und β sind die beiden Sekanten durch , auf denen bzw. liegen.
Rechendetails
| Punkt | x | y |
|---|---|---|
O | 0.000000 | 0.000000 |
A | -0.988770 | 0.149448 |
B | 1.850000 | 0.650000 |
C | -0.109259 | -0.994013 |
K | 0.878025 | 0.478615 |
N | 0.997885 | -0.065010 |
M | 1.829036 | -0.054431 |
X | 1.729916 | -3.385144 |
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