Eddie denkt über die Aufgabe A1 der IMO 85 nachJoutsa, 4. Juli 1985
Der Raum riecht nach Papier, Holz und diesem dünnen Kaffee, den die Aufsicht heimlich schlürft. Ich sitze gerade, Stift bereit, und ich hab dieses freche Gefühl: Heute rechne ich sie alle an die Wand.
Auf dem Blatt wartet eine Zeichnung, die aussieht wie “harmloses Geometrie-Gekritzel”, bis man merkt, dass sie eine Falle ist. Es geht um ein Viereck, dessen Ecken auf einem Kreis liegen. Auf einer Seite sitzt der Mittelpunkt eines zweiten Kreises, und dieser Kreis streift die anderen drei Seiten nur ganz leicht, wie mit der Fingerspitze.
Die Aufgabe will, dass ich zeige: Bestimmte Streckenlängen an diesem Viereck hängen zwingend zusammen, als hätte die Figur eine versteckte Bilanz, die immer aufgeht.
Hier nehme ich dich an die Hand: Was man in der Zeichnung “sehen” muss – ohne Zaubertricks, nur sauber hinschauen.
Teil 1 - Aufgabenstellung
Wir haben ein zyklisches Viereck . Das bedeutet: Die Punkte liegen auf einem gemeinsamen Kreis (Umkreis).
Auf der Seite liegt ein Punkt . Um liegt ein Kreis (der "Innenkreis"), der die drei Seiten berührt (also an jeder dieser Geraden tangential ist).
Zu zeigen ist die Längenformel
Teil 2 - Bild im Kopf und Notation
Der Innenkreis berührt
- die Seite im Punkt ,
- die Seite im Punkt ,
- die Seite im Punkt .
Sein Mittelpunkt ist und liegt auf .
Man kann sich das so vorstellen: Der Innenkreis "klemmt" zwischen den drei Seiten , und sein Mittelpunkt landet genau auf .
Teil 3 - Drei Merksätze (die wir ständig benutzen)
(1) Radius steht senkrecht auf Tangente
Wenn eine Gerade eine Kreis-Tangente ist, dann steht der Radius im Berührpunkt senkrecht darauf:
(2) Tangenten von einem Punkt sind gleich lang
Von einem gemeinsamen Außenpunkt sind die beiden Tangenten an denselben Kreis gleich lang:
- Von aus gehen die Tangenten über (Berührpunkt ) und (Berührpunkt ): .
- Von aus gehen die Tangenten über (Berührpunkt ) und (Berührpunkt ): .
(3) Zyklisch heißt: Gegenwinkel ergänzen sich zu
Teil 4 - Der Plan (Buchhaltung mit Strecken)
Wir wollen am Ende zerlegen:
Wenn wir zeigen können und , dann folgt sofort
Und dann ersetzen wir mit Tangenten-Gleichheiten:
Dann steht automatisch da:
Es bleibt also nur noch, die beiden Zerlegungen von und zu beweisen.
Teil 5 - Zerlegung von : Wir bauen ein passendes rechtwinkliges Dreieck
Schritt 5.1 - Punkt konstruieren
Wir wählen auf der Geraden hinter einen Punkt so, dass . Dann ist gleichschenklig mit .
Schritt 5.2 - Ein Winkel aus dem gleichschenkligen Dreieck
Im Dreieck ist der Winkel bei : (weil auf der Geraden liegt und auf ).
Da gleichschenklig ist, sind die Basiswinkel bei und gleich:
Wichtig: liegen auf einer Geraden, also ist .
Schritt 5.3 - Ein Winkel aus dem zyklischen Viereck und der Winkelhalbierenden
Weil der Innenkreis die Geraden und berührt, hat der Mittelpunkt zu beiden Geraden denselben Abstand (nämlich den Radius). Deshalb liegt auf der Winkelhalbierenden bei . Also halbiert den Winkel , und damit gilt:
(denn liegt auf )
Aus der Zyklik (Merksatz (3)) folgt:
Also haben wir .
Schritt 5.4 - Kongruenz zweier rechtwinkliger Dreiecke
Betrachte die Dreiecke und .
- (weil und ),
- (weil ),
- (beides Radien des Innenkreises),
- (gerade gezeigt).
Damit sind die Dreiecke kongruent (deckungsgleich; entsprechende Seiten sind gleich lang), denn in zwei rechtwinkligen Dreiecken genügen eine Kathete und ein spitzer Winkel. Also:
Schritt 5.5 - Jetzt die Längen buchen
Auf der Geraden gilt (weil in dieser Reihenfolge liegen):
Mit und folgt:
Teil 6 - Zerlegung von : dasselbe Spiel auf der anderen Seite
Schritt 6.1 - Punkt konstruieren
Wir wählen auf der Geraden hinter einen Punkt so, dass . Dann ist gleichschenklig.
Schritt 6.2 - Winkel bei aus dem gleichschenkligen Dreieck
Der Winkel bei im Dreieck ist (weil auf liegt und auf ).
Daher sind die Basiswinkel bei und :
Da auf einer Geraden liegen, ist .
Schritt 6.3 - Winkel bei über Winkelhalbierende und Zyklik
Weil der Innenkreis die Geraden und berührt, liegt auf der Winkelhalbierenden bei . Also:
(denn liegt auf )
Aus der Zyklik gilt:
Damit:
Schritt 6.4 - Kongruenz und Längenbuchhaltung
Betrachte und :
- (weil ),
- (weil ),
- (Radien),
- (gerade gezeigt).
Also sind die Dreiecke kongruent, somit:
Auf der Geraden gilt (Reihenfolge ):
Mit und folgt:
Teil 7 - Finale Rechnung (jetzt nur noch einsetzen)
Aus Teil 5 und 6:
Mit den Tangenten-Gleichheiten (Merksatz (2)):
- Tangenten geben Streckengleichheiten ().
- Zyklisch liefert feste Winkelbeziehungen (Gegenwinkel ergänzen sich).
- Mit zwei gut gewählten Punkten und baut man zwei Kongruenzen, die genau die fehlenden Strecken umetikettieren.
- Dann ist es nur noch Buchhaltung.
Interaktiv
Klick auf Neu zufällig. Unten siehst du numerisch, dass .
O1